Integrales Multiples
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y eleje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida porla función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una «integral triple» de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es buenonotar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenesde dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es elúltimo en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, oa menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
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Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por loque las integrales múltiples indefinidas no existen.
Definición
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud delespacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,…,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada yacotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a algúna integral doble,…