LIMITES DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII,la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[]
Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo.
Cauchy expuso límites en su Cours d’analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.[]
La primera presentación rigurosa de la técnica hecha públicafue dada por Weierstrass en los 1850s y 1860s[] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
Funciones en espacios métricos
El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ? > 0 existe un ? > 0 tal que para todo número real x en [pic], tenemos que | F (x) – L | < e.
PROPIEDADES DEL LÍMITE
Sean f y g dosfunciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).
Lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x= a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el puntox = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).
lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limitede la función f g , en el punto x = a, es l m.
lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.
LIMITES DE FUNCIONES
? Las funciones polinómicas son las funciones[pic]
donde [pic]es un polinomio en [pic], [pic], es decir, una suma finita de potencias de [pic]multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
[pic]
? Funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas máshabituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.
[pic]
? Funciones Logarítmica:
Se llama función logarítmicas a la función real, entonces es una aplicación biyectiva definida:
? Función
? exponencial
Es una función real que tiene la propiedadde que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial…