(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver límites que involucran funciones circulares
directas, resulta conveniente conocer los límites de las
siguientes funciones:
lim senx = 0
;
limcos x = 1
x ?0
x ?0
Ahora considérese el siguiente límite:
senx
lim
x ?0
x
r =1
s x t
senx < x < tan x
senx
senx
x
x
1
<
< cos x
?
1<
<
senx senxsenx
senx cos x
senx
1>
> cos x
x
lim (1) = 1 = limcos x
x?0
x ?0
senx
=1
x?0
x
? lim
Con los tres límites, esto es:
lim senx = 0
x ?0
;
es posible resolver
trigonométricas.
limcos x = 1
x ?0
muchos
;
límites
senx
=1
x ?0
x
de funciones
lim
2
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
tan x
lim
x?0 5 x
Ejemplo. Calcular el siguiente límite:
sen2 x
lim
x ?0
x
Ejemplo. Obtener elvalor numérico del siguiente límite:
1? tan x
lim
?
x ? senx ? cos x
4
Ejemplo. Calcular
2 sen2 x
lim 2
x ? 0 x sec x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
Ejemplo. Determinar el valor de:
sen2 x
lim
x ? 0 sen3 x
Ejemplo. Resolver el límite siguiente:
1? cos x
lim
x ?0
x2
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
??x?
cos ?
2 ??
?
lim
x ?1
1? x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
OTROS LÍMITESUn límite de gran importancia en matemáticas es aquel cuyo
valor es el “famoso” número » e » y que se presentará
después de recordar el desarrollo del binomio de Newton
para el siguiente binomio, considerando a » x » como un
valor real:
x ( x ? 1)( x ? 2 ) x ? 3 ? 1 ?
x x ?1 ? 1 ? x ( x ? 1) x ? 2 ? 1 ?
? 1?
x
+
=
+
+
+
1
1
1
1
1 ? ? +
? x?
?x?
1! ?? x ??
2!
3!
?
?
? ?
? x?
x
1 1 ? x ? 1? 1 ? x ?1?? x ? 2 ?
? 1?
1
+
=
1
+
+ ?
? x?
? + 3! ? x ?? x ? +
1!
2!
x
?
?
?
?
?
??
?
x
2
x
1 1?
? 1?
+
=
+
+ ?1?
1
1
? x?
1!
2! ?
?
?
1? 1 ?
+
1?
x ?? 3! ??
3
1 ?? 2 ?
1? ? +
x ??
?? x ?
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
x
? 1?
lim ?1+ ?
x ??
? x?
Ejemplo. Resolver el siguiente límite:
lim (1+ x )
1
x
x?0
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ejemplo. Resolver el límite:
1?
?
lim ?1+2 ?
x ??
? x ?
x
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Definición. Una función es continua si al dibujar su gráfica no
hay necesidad de despegar del papel la punta del lápiz.
Considérense las gráficas de las funciones de la siguiente
figura:
y
y
y
f
f
f
f ( a)
f ( a)
a
f ( a) no existe
x
a
f ( a) existe
f ( x ) no existe
f ( x ) no es cont en x = a lim
x ?a
x
a
f ( a) existe
x
lim f ( x )existe
x ?a
f ( x ) no es cont en x = a f ( a) ? lim f ( x )
x ?a
f ( x ) no es cont en x = a
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Definición. Una función f es continua en x = a sí y solo si se
cumplen las condiciones siguientes:
i) Que f ( a) exista
ii) Que lim f ( x ) exista
x ?a
f ( a) = lim f ( x )
iii) Que
x ?a
Como se vio en la figura y en la definición, de no cumplirse
una de lascondiciones dadas, la función no es continua en
x = a.
Continuidad en un intervalo
Definición. Una función f es continua en un intervalo
cerrado ??a, b?? si cumplen las siguientes condiciones:
a) Que f sea continua en todos los puntos del intervalo
abierto ( a, b ) .
b) Que f sea continua por la derecha de » a » , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
i) Que f ( a) exista
ii) Queiii) Que
lim f ( x )
x ? a+
exista
f ( a) = lim+ f ( x )
x ?a
c) Que f sea continua por la izquierda de » b » , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
i) Que f ( b ) exista
ii) Que lim? f ( x ) exista
x ?b
iii) Que f ( b ) = lim? f ( x )
x ?b
Ahora se enunciarán algunos teoremas que son de gran
ayuda al estudiar la continuidad de una función, ya sea en
un punto o en unintervalo.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Teoremas sobre continuidad
i) La suma, resta, producto y cociente de dos funciones que
son continuas en un punto, también son funciones continuas
en dicho punto (con tal de que la función del divisor no se
anule en el punto).
ii) Toda función polinomial es continua en su dominio, esto
es, para todo valor real de la variable independiente.
iii) Toda…