CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD I
I NUMEROS REALES
1. LA RECTA NUMERICA
La recta numérica, inventada por John Wallis, es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los númerosreales, continuando «ilimitadamente» en cada dirección. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.
A continuación se presentara una interpretación geométrica del conjunto R de los números reales al asociarlos con puntos de una recta horizontal denominada eje. Se elije un punto, llamado origen, para representar elnumero 0. Se selecciona arbitrariamente una unidad de distancia. Después cada numero entero positivo n se representa por el punto situado a n unidades a la derecha del origen, y cada numero entero negativo -n se representa por el punto ubicado a una distancia de n unidades a la izquierda del origen. A estos puntos se les conoce como puntos de unidad y se designan mediante los números con loscuales se asocian. Por ejemplo, 4 se representa por el punto que estas 4 unidades a la derecha del origen, y -4 se representa por el punto ubicado a 4 unidades a la izquierda del origen. La figura 1 muestra los puntos unidades que se representan a 0 y los primeros doce números enteros positivos y sus correspondientes como enteros negativos.
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Figura 1
2. LOS NUMEROS RELALESNúmero real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
El sistema numérico real consiste de un conjunto R de elementos denominados números reales y dos operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por los símbolos + y ;respectivamente. Si a y b son elementos del conjunto R, a + b indica la suma de a y b, y [pic](o ab) representa su producto. La operación sustracción se define mediante la ecuación.
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Donde – b denota el negativo de b el cual es el numero para el que b+ (- b) = 0. La operación división se define mediante la ecuación
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Donde [pic]representa el reciproco de b, que es el numero para el cual
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El sistema numérico real puede describirse completamente mediante un conjunto de axiomas (la palabra axioma se emplea para indicar una aproximación formal que se considera verdadera sin demostración). Con base a estos axiomas se pueden deducir las propiedades de los números reales de las que se obtienen las conocidas operacionesalgebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división, así como los conceptos algebraicos de resolución de ecuaciones y factorización, entre otros.
Las propiedades que pueden obtenerse como consecuencias lógicas de los axiomas se denominan teoremas. En los enunciados de la mayoría de los teoremas se presentan dos partes: la parte del “si”, llamada hipótesis, y l parte del “entonces”,denominada conclusión. El argumento que verifica un teorema recibe el nombre de demostración (o prueba). Una demostración consiste en mostrar que la conclusión se infiere de la supuesta verdad de la hipótesis.
Un numero real es positivo, negativo o cero, y cualquier numero real puede clasificarse como racional o irracional. Un número racional es aquel que puede expresarse como la razón de dosnúmeros enteros. Esto es, un numero racional es de la forma p / q, donde p y q son números enteros y [pic]. Los números racionales consisten de:
Los números enteros (positivos, negativos y cero)
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Las fracciones positivas y negativas, tales como
[pic] [pic] [pic]
Los números decimales finitos positivos y negativos por ejemplo,
2.36 = [pic]…