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TRAZADORES CUBICOS
Diego López
Monitor
Fernando CeballosProfesor Análisis Numérico
Dados n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn) con x0, x1,…, xn numeros reales diferentes, y f alguna función de valor real definida en un intervalo [a, b], que contiene ax0, x1,…, xn, se pretende aproximar la función f por segmentos o trazas. De antemano vamos a suponer que:
La idea es aproximar la función f en cada subintervalo [xk, xk+1], k = 0, 1,…, n-1,usando un polinomio de grado menor o igual a tres, el cual supondremos de la forma:
, k = 0, 1,…, n-1
Para que los pk interpolen los puntos, se deben verificar las siguientes condiciones:
1. ,k = 0, 1,…, n-1 (condición básica de interpolación)
Esta condición supone n+1 condiciones.
2. k = 0, 1,…, n-1 (condición de continuidad)
Esta condición supone n-1 ecuaciones.
3. k = 0,1,…, n-1 (condición de primera derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
4. k = 0, 1,…, n-1 (condición de segunda derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
5. (condiciones defrontera)
Al verificar las condiciones 1., 2., 3. y 4., se asegura que los pk tienen sus primeras y segundas derivadas en los puntos x0, x1,…, xn, en este caso se dice que los pk son trazadorescúbicos que aproximan la función f. Ahora, si se cumple la condición 5.a., el trazador cúbico se llama natural, y si cumple la condición 5.b., el trazador cúbico se llama de frontera sujeta (no sonmutuamente excluyentes).
Una forma de construir un trazador cúbico para una función f en [x1, xn] es la siguiente:
Efectuando la condición 1.
, k = 0, 1,…, n-1 y
y luego, aplicando la condición2., para k = 0, 1,…, n-2
Si notamos hk = xk – xk+1, k = 0, 1,…, n-1, usamos que ak = f(xk), y definimos an = f(xn), entonces
, k = 0, 1,…, n-2 (1)
(ya que )
Por otra parte, p'(xk)…