6. TIEMPO MUERTO
6.1 INTRODUCCION
Un fenómeno que se presenta muy a menudo en los sistemas de flujo es el del atraso por transporte, que se conoce también como tiempo muerto. Para explicar dicho fenómeno, se considera un sistema como el mostrado en la figura 6.1, que consiste en un líquido que fluye a través de un tubo aislado de área transversal constante, A, y una longitud, L, con un flujovolumétrico constante, Q. La densidad, ? , y el calor específico, c, del líquido son constantes; la pared del tubo es de un calor específico despreciable y el flujo es de un régimen de pistón, es decir, el perfil de velocidad es plano. La temperatura de entrada del fluido, Ti, varía con el tiempo y se quiere hallar la respuesta del sistema con respecto a la temperatura, T, de salida del fluido entérminos de la función de transferencia
Figura 6.1 Sistema de flujo con atraso por transporte Se considera como estado inicial, las temperaturas del fluido en estado estacionario y que además son iguales, es decir que
Ti (0) = T (0)
(6.1)
Al perturbar la temperatura de entrada, Ti(t), con un cambio paso en un instante t = 0, dicho cambio se detecta en el otro extremo del tubo después de untiempo to, requerido para que el fluido entrante atraviese todo el tubo. Esta respuesta se representa en la figura 6.2 El parámetro to es el denominado atraso por transporte o tiempo muerto y es, simplemente, el tiempo necesario para que una partícula de fluido se traslade desde la entrada hasta la salida del tubo y puede calcularse a partir de la expresión:
98
to =
Volumen del TuboFlujo Volumétrico AL Q
to =
(6.2)
Figura 6.2 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio paso Si la variación en Ti(t), es una función arbitraria como la mostrada en la figura 6.3, la respuesta T(t) en el otro extremo del tubo será idéntica a la variación de Ti(t) pero nuevamente retrasada en to unidades de tiempo.
Figura 6.3 Respuesta de un atraso por transporte a un cambioarbitrario
Mach
99
Se puede observar a partir de las figuras 6.2 y 6.3 que la relación entre Ti(t) y T(t) es
T (t ) = Ti (t ? t o )
(6.3)
En términos de las variables desviación, ? , la ecuación (6.3) se expresa como
?(t ) = ?i (t ? t o )
(6.4)
El miembro derecho de la ecuación (6.4) expresa una traslación de la temperatura de entrada a un tiempo posterior. Aplicando el teorema sobrela transformada de Laplace a una función trasladada, la función de transferencia correspondiente a la ecuación (6.4) es de la forma
?( s ) = e ? sto ?i ( s )
(6.5)
La ecuación (6.5) es la función de transferencia de un atraso por transporte. Cuando se establece una proporcionalidad constante entre las variables de salida y entrada, esto incluye un parámetro adicional en la función detransferencia entendida como una ganancia proporcional y, por lo tanto, se escribe como:
?( s ) = Ke ? sto ?i ( s )
(6.6)
El atraso por transporte es muy común en las industrias químicas donde se transportan fluidos a través de tuberías. Los atrasos por transporte hacen mas difícil el control de los sistemas, por lo que deben evitarse en lo posible colocando los equipos lo mas cerca posibleentre sí. Aproximación de Padé A menudo el término exponencial correspondiente al tiempo muerto se aproxima mediante las aproximaciones de Padé de primer y segundo orden, así:
Mach
100
Primer Orden:
e ? to s
to s 2 ? t 1+ o s 2 1?
(6.7)
Segundo Orden:
e
? to s
( t o ) 2 s 2 ? 6 t o s + 12 ? ( t o ) 2 s 2 + 6 t o s + 12
(6.8)
6.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON TIEMPOMUERTO
Si en la respuesta de un sistema se considera tanto atraso dinámico como por transporte, el atraso total corresponde dos atrasos en serie que en un diagrama de bloques pueden representarse de la siguiente manera para un sistema de primer orden:
?s + 1
K1
Figura 6.4 Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
Sistemas de Primer Orden con Tiempo Muerto
De acuerdo al algebra de…