Teoría de conjuntos
Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su diferencia
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
Elconcepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una «colección de objetos»; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vistade un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntosestá bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,…
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estoselementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,…
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación porextensión
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase «x en A», «x pertenece a A» o bien «x es un elemento de A»). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es elconjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llamaconjunto vacío y que se denota por . Es decir
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
Loanterior se lee «A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)». El símbolo «:» se lee «que cumplen la propiedad» o «tales que»; este símbolo puede ser remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:
donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer encontradicciones como ejemplo:
Es decir, es el conjunto donde cada elemento satisface la propiedad . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que es un conjunto, cabe hacer la pregunta «¿?» Si la respuesta es negativa () entonces cumple la propiedad y por lo tanto . Si por el contrario la…