Electromagnetismo 2004
9-1
9 – Ondas electromagnéticas guiadas
Introducción
En el Capítulo 1 observamos que en sistemas cuyas dimensiones son pequeñas frente a la mínima lonmgitud de onda del espectro de Fourier de los campos se puede usar la aproximación cuasi-estática o cuasi-estacionaria en la descripción del comportamiento electromagnético. Otras estructuras, como las líneas detransmisión, donde sólo una única dimensión lineal no satisface el criterio de cuasi-estaticidad se pueden describir con la técnicas de los circuitos de constantes distribuidas, que implican la propagación de ondas que transportan energía e información. Finalmente, existen estructuras donde sólo es posible realizar una descripción “completa” usando la descripción de campos de las ecuaciones de Maxwell.Este es el caso de la propagación de ondas en sistemas de guiado donde las dimensiones de los contornos en cualquier sentido sean comparables o mayores que la mínima longitud de onda involucrada, o cuando no hay contornos, como en la propagación en medios infinitos o semi-infinitos. Modos de Propagación En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondaselectromagnéticas transversales, es decir, ambos campos E y H son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula (? • E = ? • H = 0) para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos comofunciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación. Convencionalmente se llama modo TEM (Transversal ElectroMagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación, modo TE(Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal y modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede resolver como la superposición de un modo TE y un modo TM.
TEM E TE E TM E
H z H z
H
z
Ecuaciones generales de las ondas guiadas
Consideraremos campos que se propagan a lolargo del eje z de un sistema de referencia. También supondremos campos armónicos, de manera que las expresiones de los campos deben incorporar el factor: e i ( ? t ? ? z z ) . La «constante» de propagación a lo largo de z, ?z, dará información sobre el tipo de propagación (si hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.). Los campos pueden escribirse así: E(r, t ) = E 0 ( x, y )ei (?t ?? z z ) H ( r , t ) = H 0 ( x , y ) e i ( ?t ? ? z z )
Juan C. Fernández – Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
Electromagnetismo 2004
9-2
Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo (cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presente – por lo que suponemos ? = 0).Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz: ?2E + ? 2E = 0 ?2H + ? 2H = 0 con
? = ? µ?
donde, en general, µ y ? pueden ser complejos para medios con pérdidas. Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal yotra longitudinal a la propagación: ? 2E ?2E = ?2E + = ? t2 E ? ? z2 E = ?? 2 E ? ? t2 E = ?(? 2 ? ? z2 )E = ?? t2 E t 2 ?z Por otra parte, de las ecuaciones de Maxwell del rotor: ? × E = ?i?µH
ˆ x ? ?x Ex ˆ y ? ?y Ey ˆ z ? ?z Ez ? ?E z ?E y ?E z ? = ? i? z E y = ?i?µH x ? ?z ?y ? ?y ?E ?E ? ?E ˆ ˆ ˆ = ?i?µ (H x x + H y y + H z z ) ? ? x ? z = i? z E x ? z = ?i?µH y ?x ?x ? ?z ? ?E y ?E x ? =…