Geometr´ en Olimpiadas de ?a Matem´ticas a
Jes´s Jer´nimo Castro u o
Centro de Investigaci´n en Matem´ticas A.C. o a Julio de 2005
Índice General
Capítulo 1. Conceptos y teoremas básicos 1. Angulos entre paralelas. 2. Angulos en circunferencias 3. El Teorema de Tales 4. Triángulos semejantes 5. Cuadriláteros cíclicos. 6. El Teorema de Pitágoras 7. Potencia de un punto 8. Area detriángulos y cuadriláteros Capítulo 2. Puntos notables en el triángulo 1. Las medianas y el gravicentro 2. Las bisectrices y el incentro 3. Las alturas y el ortocentro 4. Las mediatrices y el circuncentro 5. Circunferencias exinscritas 6. Simedianas Capítulo 3. Teoremas selectos 1. Teorema de Ptolomeo 2. Teorema de Carnot 3. Teorema de Ceva y de Menelao 4. Línea de Euler 5. Circunferencia de los nuevepuntos 6. Línea de Simson 7. Teorema de Desargues y Teorema de Pappus Capítulo 4. Algunas estrategias en Geometría 1. Prolongar segmentos 2. Trazar perpendiculares 3. Trazar paralelas 4. Trazar tangentes y cuerdas comunes 5. Construir un ángulo 6. Re?ejar puntos 7. Construir triángulos equiláteros 8. Ir hacia atrás 9. Usando a Ceva y Menelao
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1 1 3 9 11 18 24 28 37 43 43 47 53 56 59 63 69 69 7172 74 75 76 77 79 79 83 84 86 89 90 91 91 92
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ÍNDICE GENERAL
10. El punto falso (falsa posición) 11. Problemas misceláneos Bibliografía
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CAPíTULO 1
Conceptos y teoremas básicos
1. Angulos entre paralelas. Consideremos líneas que se hallan en un mismo plano y que no se intersectan por más que se prolonguen. A este tipo de líneas las llamaremos líneas paralelas. Si unalínea corta a un par de paralelas (l y m) entonces forma ángulos con éstas, los cuales mantienen la siguiente relación: ]1 = ]2 ]1 = ]3 ]1 = ]4 ]2 = ]4 y y y y se se se se llaman llaman llaman llaman ángulos ángulos ángulos ángulos
l
opuestos por el vértice, alternos internos, correspondientes, alternos externos,
4 5 3
m
1
2
además, también tenemos que ]4 + ]5 = 180? y se dice que]4 y ]5 son suplementarios. Aprovechando todo esto podemos probar el siguiente teorema: Teorema 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180? .
A l
?
? ?
?
B
?
C
Demostración. Sea l una línea paralela a BC, la demostración es evidente al observar la ?gura anterior, ya que ]? + ]? + ]? = 180? .
1
2
1. CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS
1.1. Ejercicios.Ejercicio 1. Encuentra cuánto vale el ángulo exterior ? en la siguiente ?gura si son conocidos los ángulos ? y ?:
A
?
?
B
?
C
Ejercicio 2. Encuentra cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono convexo1 de n vértices. Ejercicio 3. Encuentra cuánto vale el ángulo x en la siguiente ?gura.
140°
x 140° 140°
Ejercicio 4. Calcula la suma de los ángulos internos en losvértices A, B, C, D y E.
Una ?gura se dice que es convexa, si para cualesquiera dos puntos en ella, el segmento que los une está totalmente contenido en la ?gura.
1
2. ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS
3
A
E
B
D C
2. Angulos en circunferencias Existen distintos tipos de ángulos en las circunferencias, los cuales podemos calcular en función de los arcos que intersectan. La manera enque se calculan depende de si el vértice del ángulo se encuentra dentro, sobre, ó fuera de la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos: Definición 1. Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de un círculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes, es decir ? = AB 2 .
A
_
O
?
B
Definición 2. Un ángulo inscrito es el quetiene su vértice sobre la circunferencia y su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir
_
?=
AB 2 .
2
_
Con XY denotamos al arco de la circunferencia entre los puntos X y Y .
4
1. CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS
A
C
?
B
Definición 3. Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por una línea tangente…