GEOMETRÍA ANALÍTICA TRIDIMENSIONAL
La Geometría Analítica plana es la base para comprender la Geometría Analítica en el espacio tridimensional. De hecho, se aplican los mismos principios con sus ajustes necesarios.
Coordenadas espaciales
Si bien, por el momento se ha trabajado únicamente con dos variables, la inclusión de una variable más (z), implica la ampliación del sistema de coordenadas y elestablecimiento de ciertas reglas para la graficación tridimensional.
El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se forma a partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera que existe un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se «sale» del papel.
Al igual que en el dibujo tridimensional, los ejes se pueden trazar como una vista en isométrico o axonométrico.
Para larepresentación de puntos y elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala. Si la representación se hace en un sistema isométrico, las unidades tendrán la misma longitud en los tres ejes, sin embargo, cuando se utilice el sistema axonométrico se recomienda entonces que la unidad que representa el eje «x», es decir, la que se «proyecta» hacia el observador,debe tener aproximadamente 0.7 unidades de longitud. Esto se sugiere para conservar la proporción del objeto representado en su vista tridimensional.
La ventaja de utilizar el sistema isométrico es que la unidad mide lo mismo en los tres ejes. La desventaja es que se requiere de un papel especial o del trazo cuidadoso de la red isométrica.
Por otro lado, la ventaja de utilizar el sistemaaxonométrico es que se puede utilizar una hoja cuadriculada común.
Ejemplo
Ubicar el punto A (2, 2, 2) en un una vista isométrica y una vista axonométrica.
Representación axonométrica
Representación isométrica
Observe que en el caso de la representación axonométrica se tomó cada cuadro de la diagonal (eje X) como el doble del valor de los cuadros en la vertical (eje Z) y la horizontal (eje Y)
Otro aspectoa observar es que todas las coordenadas del punto P son iguales a dos, es decir: P(2, 2, 2), con lo que la figura marcada con línea discontinua describe un cubo.
La disposición de los ejes con respecto al observador puede variar, sin embargo aquí adoptaremos preferentemente el que se señaló, es decir, tomaremos como los ejes XY en la horizontal y Z en la vertical.
Distancia entre dos puntos en unsistema tridimensional
Como ya se mencionó, la extensión de dos a tres coordenadas en el estudio de la Geometría Analítica, en general no representa ninguna dificultad. Veamos como obtener la distancia entre dos puntos en el sistema tridimensional.
Considere la siguiente figura:
De acuerdo a la figura:
=+ o bien, = + | z2 –z1 |2; también:
=+ o bien, =| x2 –x1 |2 + | y2 –y1 |2
En resumen: = d =| x2 –x1 |2 + | y2 –y1 |2 + | z2 –z1 |2
Que es la fórmula de distancia entre dos puntos
Ejemplo
Determine la distancia entre los puntos P ( 1, 4, –1) y Q ( –2, 3, 2)
Solución: d = =
Punto medio
La recta
La recta en un sistema tridimensional se puede definir a partir de las coordenadas de dos puntos conocidos. Por ejemplo, se puede definir una recta si se conoce un punto y se sabe que pasa porel origen, o bien, si se dan dos puntos de la misma.
Otro aspecto importante de la recta en el espacio es el que se refiere a su dirección. En un sistema tridimensional la dirección de una recta se define a partir de los ángulos que forma la recta con cada uno de los ejes coordenados. Para ello, se acostumbra utilizar los cosenos directores. La siguiente figura muestra las relaciones entre losángulos y las coordenadas de dos puntos de una recta.
De acuerdo con la figura:
Ejempl
Determine los cosenos directores y los ángulos direccionales de la recta que pasa por el origen y por el punto P(2, 1, 3)
Solución
El plan
A diferencia del sistema bidimensional, en Geometría Analítica espacial, una ecuación de primer grado, de la forma:
Ax + By + Cz + D = 0;
representa un plano y no una…