UNIDAD 2 ANÁLISIS VECTORIAL
2.1 Operaciones fundamentales
Un vector es representado en el plano x-y por medio de un segmento de recta que va del punto origen P(x1,y1) al punto Q(x2,y2) (Ver Figura 2.1).
La magnitud, modulo o norma de un vector se obtiene como,
[pic]
La dirección y sentido del vector lo da la pendiente m del segmento de recta,
[pic]
El significado físico dela pendiente m se muestra en la misma Figura 2.1.
[pic]
Figura 2.1
Donde el vector [pic] se puede representar por medio de sus componentes ortogonales,
[pic]
Si el punto Q coincide con el origen de coordenadas,
[pic]
De la Figura 2.2, conociendo la norma y la dirección de un vector, también se pueden conocer sus componentes,
[pic]
[pic]
[pic]
Figura 2.2
Quedandoentonces como,
[pic]
SUMA DE VECTORES: El resultado de una suma de vectores se le llama RESULTANTE. La resultante tiene una magnitud igual a un vector cuyas componentes son la suma algebraica de las correspondientes componentes de los vectores a sumar.
Sea la suma de el vector [pic] con el vector [pic] la resultante es,
[pic]
Donde ? y ? son las respectivas direcciones.
MULTIPLICACIÓNDE UNA CONSTANTE ESCALAR POR UN VECTOR: Al multiplicar un vector [pic] por un escalar k, la magnitud del vector obtenido es k-veces mas grande que [pic], por tanto,
[pic]
o bien en función de sus componentes,
[pic]
La dirección y sentido no se ven afectados.
Ejemplo 2.1
Sean los vectores [pic] y [pic] determine la magnitud y direccion de la resultante de sumar ambos vectores,[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ejercicio 2.1
1. Diga el módulo y la dirección de los vectores resultantes de las siguientes operaciones vectoriales,
[pic], [pic], [pic],[pic]
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
2. ¿Qué vector es necesario añadir a [pic] para obtener el vector [pic]?
3. Se tiene la función [pic], determine la función [pic]que se deba añadir a [pic] de talmanera que las curvas de nivel se muevan a un ángulo de 30 grados conservando la magnitud de su gradiente.
2.1 Producto escalar
El producto escalar entre dos vectores, e.g. [pic] Se define como el producto algebraico entre le vector [pic] y la proyección del vector [pic] en la direccion de [pic].
La proyección de v en la dirección w puede obtenerse de acuerdo con lo que muestra la Figura 2.3
Figura 2.3
[pic]
El producto escalar es entonces,
[pic]
Observe que el producto escalar,
[pic]
Estas dos ultimas ecuaciones comprueban que,
[pic]
En otras palabras el producto punto es conmutativo.
Como el nombre lo indica el nombre, el producto escalar es un escalar, es decir sin dirección y sentido.
Ambos vectores pueden expresarse en función de suscomponentes,
[pic] y [pic]
El producto punto entre componentes ortogonales en la misma dirección es,
[pic]
Donde debido a que ambas componentes poseen la misma dirección el ángulo [pic]solamente puede ser 00 o 1800 y por tanto,
[pic] , [pic] y [pic]
el signo del producto punto depende de la posición relativa de estos vectores y por tanto puede expresarse como,
[pic], [pic] y [pic]el producto punto de los vectores [pic] es,
[pic]
El producto punto es el cuadrado de la norma de un vector, sea un vector [pic], su norma es obtenida como,
[pic]
la cual puede expresarse así,
[pic]
el miembro izquierdo es claramente identificable,
[pic]
lo que demuestra lo afirmado.
Si dos vectores son perpendiculares entre si, ninguno de los dos tendrá componentedistinta de cero en la dirección del otro, de la definición de producto punto se tiene,
[pic]
[pic]
VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DEL VECTOR [pic]: Como el cuadrado de la norma de un vector es el resultado del producto punto entre si mismo, el resultado es un escalar y por tanto tratable algebraicamente. Sea,
[pic] se puede transformar en,
[pic]
que es la norma de un vector…