Anillos y Cuerpos
Anillos
Sea un conjunto R con dos operaciones internas que llamaremos suma (+) y producto (·). Diremos que (R, +, ·) es un anillo si veri?ca: • (R, +) es un grupo abeliano. • (R,·) es un semigrupo. • Para cualesquiera a, b, c ? R se cumplen: a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc Cuando (R, ·) es un monoide se dice que R es un anillo unitario o anillo con unidad querepresentaremos por 1 (elemento nuetro del producto). Cuando (R, ·) es un semigrupo conmutativo, se dice que R es anillo conmutativo.
Prof. Francisco Rodr´guez ? 1
´ Ejemplos: Los conjuntos numericos conlas operaciones habituales (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son anillos conmutativos unitarios. (N, +, ·) no es un anillo por no ser (N, +) un grupo.
Ejemplos: Para cada entero positivo n,el conjunto de enteros modulares Zn junto con la suma y el producto es anillo (conmutativo y unitario).
Teorema 1 Si R es un anillo, con elemento neutro aditivo 0, entonces para cualesquieraelementos a, b ? R se tiene: 1) 0a = a0 = 0 2) a(?b) = (?a)b = ?(ab) 3) (?a)(?b) = ab
Muchas de las propiedades de los anillos son reformulaciones de las propiedades correspondientes a los grupos, porejemplo • • Si m, n ? Z, a ? R Si m, n ? N, a ? R ma + na = (m + n)a m(na) = (mn)a aman = am+n (am )n = amn
´ Al ser una estructura mas rica que la de grupo, se tienen expresiones completamente nuevasbasadas en la propiedad distributiva
Prof. Francisco Rodr´guez ? 2
Teorema 2 Para cualquier entero n, dados a, b en un anillo R, se veri?can las siguientes propiedades: 1) n(ab) = (na)b = a(nb)´ ´ 2) la formula binomial (tambien conocida como binomio de Newton) (a + b)n = n i n?i ab i=0 i
n
Subanillos S es un subanillo de R si es anillo con las opereraciones de?nidas en R, es decir:Dados x, y ? S ? x ? y ? S y xy ? S Ejemplo: enteros gaussianos Z(i) = {a + ib | a, b ? Z}
es un subanillo de C. ´ La interseccion de subanillos de un anillo R sigue siendo subanillo, por tanto dado…