Repaso de matrices

´ REPASO MUY BASICO DE MATRICES

1.
1.1.

Matrices. Operaciones con matrices
Introducci´n o

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el a˜o 1850, introducidas por el ingl´s n e J. J. Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Caley. Adem´s de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices a aparecen de manera natural en geometr´ estad´?a, ?stica, econom´ y tambi´n en las ciencias ?a e naturales. Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. As´ las ?, hojas de c´lculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de ?las y de columnas a en cuyas celdas se pueden introducir datos y f´rmulas para realizar c´lculos a gran velocidad. o a Esto requiere utilizar t´cnicas de operaciones con matrices. eUna matriz es una tabla ordenada de n´meros por ?las y columnas. Diremos que la u matriz A es de orden (m, n) si tiene m ?las y n columnas, por ejemplo, las matrices
?

?1 0 ? ? ? 1 2 ?, ? ? 2 3

?

?

5 0 1 ?2

,

1 0 ?3.5 9 3 ?1

,

2 2 ?3 ? ? ? 0.5 5 1 ?, ? ? ?1 ?2 0

?

son de ´rdenes (3, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3) respectivamente. Los vectores tambi´n son matrices, o e deuna ?la o una columna: ? ? 1 ? ? ? ?2 ? , ?2 0 1 ? ? 3 Los elementos de la matriz se llaman aij , donde i es el n´mero de ?la y j el n´mero de u u columna. Por ejemplo, en la primera matriz anterior, tenemos los siguientes elementos: a11 = ?1, , a12 = 0, a32 = 3, a22 = 2.

Si el n´mero de ?las coincide con el n´mero de columnas de una matriz, es decir n = m, u u ´sta se dice que es cuadrada deorden n. Por ejemplo, las matrices e
?

?0.3 1 1 2

,

?2 1 0 5 ? ? ? 2.5 1 1 ?, ? ? ?1 ?2 12

?

son matrices cuadradas de ´rdenes 2 y 3 respectivamente. En las matrices cuadradas, los o elementos con igual n´mero de ?la que de columna, aii forman la diagonal principal. En las u matrices anteriores, las diagonales principales son (?0.3, 2) y (?2, 1, 12) respectivamente. Dos matricesson iguales si tienen el mismo orden y adem´s los mismos elementos. a 1

La matriz traspuesta de una matriz de orden (m, n), se escribe AT y es la matriz de orden (n, m) que se obtiene escribiendo sus ?las como columnas y por lo tanto, sus columnas como ?las. Por ejemplo, AT = ?1 2 3 0 4 ?5 ?1 0 ? ? ? 2 es la traspuesta de A = ? 4 ?, ? 3 ?5
? ?

y viceversa. Llamaremos matriz sim´trica a unamatriz A que coincida con su traspuesta, es decir, e T A = A . Observar que toda matriz sim´trica debe tener el mismo n´mero de ?las que de e u columnas, es decir, tiene que ser cuadrada.
?

1 ?3 2 ? ? ? ?3 0 1.4 ? ? ? 2 1.4 3

?

es una matriz sim´trica. e

Algunos tipos especiales de matrices son los siguientes: Matriz nula. Es la matriz, 0, en la que todos los elementos son cero:
?0 0 0 ? ? ? 0 0 0 ?, ? ? 0 0 0 son matrices nulas.

?

?

0 0 ? ? ? 0 0 ?, ? ? 0 0

?

0 0 0 0

,

Matriz identidad. Es una matriz cuadrada, I, cuyos elementos son ceros excepto en la diagonal principal donde todos los elementos son uno:
? ? ? ? ? ?

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

? ? ? ?, ? ?

?

1 0 0 1

,

1 0 0 ? ? ? 0 1 0 ?, ? ? 0 0 1

?

son matricesidentidad de ´rdenes o dimensi´n 4, 2 y 3 respectivamente. o o Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 ?1 3 ? ? ? 0 1 U =? 2 ? ? 0 0 ?3
? ?

es triangular superior.

Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos. 1 0 0 ? ?? ?2 3 L=? 0 ? ? 0.5 4 ?3.1 2
? ?

es triangular inferior.

1.2.

Operaciones con matrices

Las operaciones que vamos a de?nir entre matrices son la suma y el producto. Adem´s a tambi´n podremos multiplicar matrices por n´meros reales (escalares). e u 1.2.1. Suma de matrices

Si A, B son matrices del mismo orden (m, n), la matriz suma C = A + B es la que obtendremos sumando elemento…