Espacio vectorial
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar,el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, laasociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial.
Definición formal
Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley decomposición externa (·), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:
• V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Esto significa que:
1. La suma de vectores es ley de composición interna.
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2. La suma de vectores es asociativa.
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3. La suma devectores es conmutativa.
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4. Existe un elemento neutro o nulo.
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5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo.
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Dónde [pic]representa el vector nulo.
• Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se cumple:
6. El producto es ley de composición externa.
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7. El producto poseeasociatividad mixta.
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8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.
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9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.
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10. Existe el elemento neutro para el producto.
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Subespacio vectorial
Definido un espacio vectorial V, un subconjunto S de V, que a su vez cumple las leyes de espacio vectorial se lo denominasubespacio vectorial. En otras palabras, sea V un espacio vectorial, S es un subespacio de V si y solo si se cumple simultáneamente:
• S no es un conjunto vacío.
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• S es igual o está incluído en V.
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• S es un espacio vectorial.
Condición suficiente de existencia
Es posible afirmar la existencia de un subespacio vectorial sin necesidad deprobar los 10 axiomas de existencia de espacio vectorial. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.
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2. S es igual o está incluído en V.
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3. La suma es ley de composición interna.[pic]
4. El producto es ley de composición externa.
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Propiedades del espacio vectorial.
Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial y 5 para el producto por escalares):
(En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con una flecha encima; si no es así se trata de escalares)
• Para la Suma devectores
|1 |Cerradura |[pic] |[pic|[pic] |
| | | |] | |
|2 |Asociatividad |[pic] |[pic|[pic] |
|| | |] | |
|3 |Conmutatividad |[pic] |[pic|[pic] |
| | | |] | |
|4…