UNIVERSIDAD INTERAMERICANA // Recinto d e Bayamón // Escuela de Ingeniería MECN 3500 // Métodos Numéricos para Ingeniería Prof. Eduardo Cabrera Ruiz
4.0 AJUSTE DE CURVAS
4.1 INTRODUCCIÓN
Supongamos que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la siguiente gráfica
De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un polinomio de segundo grado de laforma: y = a1 + a2 x + a3 x 2 + (1) Esta ecuación (1) puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a1 , a2, a3 etc. Para determinar estos valores utilizamos el siguiente procedimiento: 1. Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores (obtenidos experimentalmente). 2. Escribir laecuación que expresa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación. 3. Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error. 4.1.1 EVALUACIÓN DEL ERROR Si consideramos las parejas de datos, como se muestra en la gráfica
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donde: d = distancia = yobservada – yobtenida por la ecuación yobservada = Valor obtenido experimentalmente. yobtenida por laecuación = valor de la función evaluada en cualquier valor x Observando la gráfica, parece que esta distancia se puede usar para representar el error, pero habrá distancias positivas y negativas, (como se puede observar la distancia d1 es positiva y la distancia d2 es negativa) de modo que el error promedio para los puntos como los mostrados será pequeño aunque los errores individuales seangrandes. Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias, sin embargo al derivar la función del valor absoluto se generan ciertos problemas. La solución podría ser definir el error como el cuadrado de la distancia, esto elimina la dificultad del signo. Por esta razón el método se llama: Método de Mínimos Cuadrados.
2 2 S = d 12 + d 2 + d 32 + + d m (2) en donde S es lasuma de los cuadrados de las diferencias entre el valor calculado y el valor observado y por lo tanto es el valor que se debe minimizar
S = ? y iobservada ? y icalculada
i =1
m
(
)
2
(3)
Siendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de segundo grado, se tiene la ecuación:
S = ? yi ? a1 ? a2 xi ? a3 xi2
i =1
m
(
)
2
(4)
Para minimizar la funciónanterior, derivando parcialmente con respecto a a 1, a 2 y a 3 e igualando a cero: ?S ?S ?S = = =0 ?a1 ?a 2 ?a 3
m ?S = ?2? y i ? a1 ? a 2 x i ? a 3 x i2 = 0 ?a1 i =1
(
)
m ?S = ?2? x i y i ? a1 ? a 2 x i ? a 3 x i2 = 0 ?a 2 i =1
(
)
(5)
m ?S = ?2? x i2 y i ? a1 ? a 2 x i ? a 3 x i2 = 0 ?a 3 i =1 (Obsérvese que las variables son a1, a2 y a3, mientras que yi, xi son constantes)(
)
Las ecuaciones se pueden expresar de acuerdo como sigue:
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Universidad Interamericana Recinto de Bayamón -Escuela De Ingeniería-
? a1 + ? xi a2 + ? xi2a3 = ? yi
i =1 m i =1 i =1 i =1
m
m
m
m
? xi a1 + ? xi2a2 + ? xi3a3 = ? xi yi
i =1 m i =1 m i =1 m i =1 m
m
m
m
(6)
?x a +?x a +?x a =?x
i =1 2 i1 i =1 3 i 2 i =1 4 i 3 i =1
2 i
yi
Lo anterior lo podemos expresar en forma matricial:
? ? M ?m ? x ?? i i =1 ?m ?? x i2 ? i =1 ?
? ? M ? ? m ? ? xi ? i =1 ?m 2 ? ? xi ? i =1 ? ?m ? xn ?? i ? i =1
?x ?x ?x
i =1
m i
m
i =1 m
i
i =1 m
2 i 3 i
? ? m ? ?x ? ? ? yi ? i =1 ? ? a1 ? ? mi =1 ? m ?=? x y ? 3 ?? ? x i ? ?a 2 ? ? ? i i ? i =1 i =1 m ? ? a3 ? ? m ? ? ? ??x i2 y i ? x i4 ? ? ? ? i =1 ? i =1 ? ? ?
m 2 i
2 i
(7)
La fórmula general para un polinomio de grado n en donde hay m parejas de datos es:
?x
i =1 m
m
?x
i =1 m
?x
i =1 m
2 i
?x
i =1 m
3 i
?x
i =1
3 i
?x
i =1
4 i
?x
i =1
m
n +1 i
?x
i =1
m
n+ 2 i
? ? m ? ?x ? ? yi ? ? i =1 ? ? i =1 ? m ? ? a1 ? ? m ? ? xin+1 ? ? a2 ? ? ? xi…