Homotecia
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Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Sudefinición rigurosa es vectorial:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A’,B’, C’) en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tantoB’ es el de [A’;C’]
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
Además la homotecia conserva:
1. el cociente de longitudes:A’C’/B’E’ = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas laslongitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ? 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos)
4. Sik ? 0, h? k admite como trasformación recíproca h? 1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es elproducto de las razones de las homotecias iniciales: h? k o h? k’ = h? k•k’.
6. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k’, se obtiene una homotecia de razón k•k’ cuando k•k’ ?1, yuna traslación sino. Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.
k = – 1 corresponde a la simetría de centro ?, o una rotación alrededor de ? de ángulo ? radianes(180•)
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro ? con una homotecia sin inversión....