Ecuación Lineal de 1er Orden con factor Integrante.
[pic]…………ED1
Se presentan dos casos
Caso 1 Si [pic]
Entonces en la ED1 nos queda
[pic]…………ED2
Resolviendo[pic]
[pic]
[pic]
Nota: Mientras que no se anule [pic]
Caso 2 Si [pic]
Del primer miembro de la ED1
[pic]
Nos queda;
[pic] = [pic]Entonces los dos términos del primer miembro forman una derivada de producto.
[pic] = [pic]
Quedando la ecuación diferencial.
[pic]…………ED3
Resolviendo y separando variables, e integrando ambosmiembros nos da:
[pic]
[pic]
[pic] Forma estándar
Nota: En raras ocasiones se puede obtener la ED en la forma 2.
Ahora para obtener la forma de la ED3
Realizamos elsiguiente proceso:
Multiplicamos la ED1 por una función [pic] Bien elegida, a esto se la llama Factor Integrante para la ED1.
Y consiste en dividir primero la ED1 [pic] entre [pic]
Escribiéndolaen la forma estándar
[pic]…………4
En donde: [pic] [pic]
Ahora para determinar el Factor Integrante [pic]
Multiplicamos [pic]en la ED4
[pic]…………5
Y que esprecisamente la derivada de producto en el primer miembro
[pic]
De donde [pic]…………6
[pic]
Lo anterior debe satisfacer
[pic]
Esta es una ecuación diferencial separable que se escribe como[pic]
Resolviendo
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]…………7
Entonces concluimos que
[pic]
Tiene como solución:
[pic]
METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
I.- Escribela ecuación lineal en la forma estándar.
[pic]
II.- Identifique a partir de la forma estándar [pic] y calcule el factor integrante.
[pic]
III.- Multiplique la forma estándar por el factorintegrante, recordando que el lado izquierdo de la ecuación es precisamente la derivada de producto con el factor integrante por “y”.
[pic]
[pic]
IV.- Integre ambos lados de la ecuación y…